[ Signal ] Sampled Functions의 푸리에 변환

 

---

 

[ Signal ] Sampled Functions의 푸리에 변환

 

---

앞의 글을 읽고 오시면 이해에 도움이 됩니다.

 

2021.08.05 - [AI/Math] - Signal function Sampling (샘플링)

Signal function Sampling (샘플링)

2021.08.04 - [AI/Math] - 푸리에 변환과 합성곱의 관계(Convolution Theorem)

푸리에 변환과 합성곱의 관계(Convolution Theorem)

---

1. Sampled Function 의 푸리에 변환

 

 

앞선 글에서 Sampled function이 무엇인지에 대해서 다루었죠. 

이번 글에서는 Sampled function를 푸리에 변환(Fourier Transform) 해봅시다.

 

 

---

 

 

우선 Sampled function($ \tilde{f} (t)$)의 식은 spatial domain에서 두 함수의 곱셈(product;$f(t)s_{\Delta T}(t)$)로 나타내져 있습니다.

이것을 푸리에 변환하면 식은 다음과 같이 되겠네요

 

$$ \tilde{f} (t) = f(t)s_{\Delta T}(t) $$

$$ \tilde{F} (u) =\mathcal{F} \{ \tilde{f} (t) \} = \mathcal{F} \{ f(t)s_{\Delta T}(t) \} $$

 

 

그런데 식을 자세히 보면 Convolution Theorem 을 적용해 볼 수 있습니다. 

(spatial domain의 두 함수를 곱한것에 푸리에 변환 = 각 함수를 푸리에 변환한 후 frequency domain 에서 convolution)

 

 

$$ \mathcal{F} \{ f(t)s_{\Delta T}(t) \}  = (F*S)(u), \quad *:convolution$$ 

$$ \tilde{F} (u) =  (F*S)(u) = \int_{-\infty}^{\infty} F(\tau)S(u-r)d\tau $$

 

 

푸리에 변환한 두 함수($F,\ S$)의 convolution(합성곱) 까지 완료 했습니다.

이제 해야할 것은 함수($ s$)를 푸리에 변환해서 위의 식에 대입해주면 완성됩니다.

 

 

우리는 이미 impulse train의 푸리에 변환($S(u)$) 식을 알고 있습니다(푸리에 변환 (Fourier Transform) - (2) 다양한 함수의 푸리에 변환 글 참고).

$$ S(u) = \frac{1}{\Delta T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta (u-\frac{n}{\Delta T} )$$

 

 

 

이제 convolution 식에 대입해서 정리하면 Sample function ($ \tilde{f} (t)$)의 푸리에 변환식이 완성됩니다.

 

$ \int_{-\infty}^{\infty} F(\tau)S(u-r)d\tau $

 

    $=  \frac{1}{\Delta T} \int_{-\infty}^{\infty} F(\tau) \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta (u-\tau -\frac{n}{\Delta T} ) d\tau$

 

    $=  \frac{1}{\Delta T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(\tau) \delta (u-\tau -\frac{n}{\Delta T} ) d\tau$

 

    $= \frac{1}{\Delta T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} F(\tau -\frac{n}{\Delta T}) $

 

 

유도식 마지막 과정에서 Sifting properties 를 이용했습니다. 

$\tau $를 기준으로 생각해 보세요.

$\delta$ 함수는 우함수니까 아래와 같이 정리됩니다.  

$\int_{-\infty}^{\infty} F(\tau) \delta (\tau-(u -\frac{n}{\Delta T}) ) $

이는 정확히 sifting property 식과 동일한 형태군요!

---

 

$$\large \tilde{F} (u)  = \mathcal{F} \{ f(t)s_{\Delta T}(t) \} = \frac{1}{\Delta T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} F(u -\frac{n}{\Delta T}) $$

 

 

이것이 바로 Sampled function의 푸리에 변환 식입니다!!!

 

 

---

 

그런데 가만히 보고 있자니 좀 특이하지 않나요?

 

Sampling 하기 이전의 함수($f(t)$)만 푸리에 변환하면 $F(u)$가 되지요..

Sampling 한 함수($ f(t)s_{\Delta T}(t)$)를 푸리에 변환하면 $ \frac{1}{\Delta T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} F(u -\frac{n}{\Delta T}) $ 입니다.

 

확인하셨나요?

 

푸리에 변환결과가 $F(u)$의 반복일 뿐입니다. 

$\frac{1}{\Delta T}$ 를 주기로  $F(u)$가 반복되는 형태가 됩니다. 

 

그림을 통해서 이해하면 쉬운데요...

첫번째 그림이 원함수 ($f(t)$)의 푸리에 변환이고, 

두번째 그림이 Sampled 함수 ($ f(t)s_{\Delta T}(t)$)의 푸리에 변환 입니다.

    → 연속적(continuous), 무한대로 뻗어감(infinite), $ \frac{1}{\Delta T}$의 sampling rate 를 가진다는 특성이 존재하죠.

 

 

여기서 하나더 고려해야할 상황이 생깁니다.

 

두번째(over-sapmled)나 세번째 그림(critically sampling)처럼 Sampling rate ($ \frac{1}{\Delta T}$)가 충분히 높아서 $F(u -\frac{n}{\Delta T})$간의 분리가 잘 되어 각 위치마다 $F(u)$를 잘 보전하면 문제가 없는데요... 

 

문제는 Sampling rate가 부족하면 네번째 그림(under-sampling)과 같이 겹치는 문제가 발생합니다.

 

다음글에서는 이러한 Sampling 문제와 이론들에 대해 다뤄 보겠습니다.

 

2021.08.06 - [AI/Math] - Sampling Theorem 이란 (Nyquist rate, lowpass filter)

Sampling Theorem 이란 (Nyquist rate, lowpass filter)

 

---