[ Signal ] Function Sampling (샘플링)

---

 

Signal function Sampling (샘플링)

 

---

2021.07.20 - [AI/Math] - Impulses function & Sifting properties

Impulses function & Sifting properties

읽고 오시면 이해에 도움이 됩니다.

 

---

Sampling

 

 

    이번 글에서는 sampling에 대해서 알아봅시다. sampling이 뭘까요?

음 예를들어 설문조사할때 sampling 을 하죠. 모집단이라고 하는 집합에서 일부를 뽑아내는 것을 말합니다.

 

 

---

 

그렇다면 신호나 함수에서 sampling의 의미는 무엇일까요?

 

    연속적인 함수나 신호에서 특정위치의 값을 뽑아내는 것이지요.

 

---

 

 

자 그럼 예를들어 생각해 봅시다..

 

연속하는 함수 $f(t)$가 있습니다. 우리는 이 연속함수를 일정간격($\mathrm{\Delta }T$)으로 값을 뽑아내려 합니다. 즉 함수를 sampling 하고싶은 것이지요.

 

어떻게 sampling 할까요? 함수에 값을 하나씩 넣어서 뽑아내나요? 하나하나 뽑아내는건 너무 힘들지 않을까요? 

 

더 편리한 방법이 있습니다.

Train Impulses function 을 사용해서 sampled function 을 만들어 내면 됩니다.

 

 

fig1의 두번째 붉은색 화살표들을 Train Impulses function 이라고 합니다. 이것을 샘플링하고자 하는 연속함수 $f(t)$에 곱하면  세번째 그래프처럼 연두색 값들만 남게 됩니다. 결론적으로 함수와 Train impulse를 곱하여 만들어진 sampled function은 연두색 점을 표현하게 됩니다.

 

 

 

fig 1

 

 

그럼 개념은 이해 했으니 수식으로 다뤄 봅시다.

 

$$\tilde{f}(t)=f(t)s_{\mathrm{\Delta }T}(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\delta (t-n\mathrm{\Delta }T)$$

 

 

$\tilde{f}(t)$ 는 sampled 함수라고 할 수 있습니다. 수식을 보면 $f(t)$ 의 값들은 impulse 값에 따라 가중(weighte)된 sampled function을 나타내게 되지요. impulse 값이 전부 1이라면 당연히 원래 함수값들로 구성된 sampled function이 만들어 지겠네요. Sifting properties 를 이용하면 아래와 같은 수식으로 나타낼 수 있습니다.

 

 

$$f_k={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\delta (t-k\mathrm{\Delta }t)dt=f(k\mathrm{\Delta }T)$$

 

 

이렇게 되면 $t$축이 아닌 $k=\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots$에 대한 함수로 바뀌게 됩니다. 

 

 

다음은 이러한 Sampled function의 푸리에 변환에 대해서 알아 보겠습니다.

2021.08.06 - [AI/Math] - Sampled Functions의 푸리에 변환

Sampled Functions의 푸리에 변환

 

---