[ Signal ] Sampling Theorem 이란 (Nyquist rate, lowpass filter)

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[ Signal ] Sampling Theorem 이란 (Nyquist rate, lowpass filter)

 

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앞의 글을 읽고 오시면 이해에 도움이 됩니다.

2021.07.20 - [AI/Math] - Impulses function & Sifting properties

Impulses function & Sifting properties

2021.08.05 - [AI/Math] - Signal function Sampling (샘플링)

Signal function Sampling (샘플링)

2021.08.06 - [AI/Math] - Sampled Functions의 푸리에 변환

Sampled Functions의 푸리에 변환

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The Sampling Theorem

 

 

첫번째 그림은 $f(t)$의 푸리에 변환입니다. 일정한 범위(finite interval (band) : $[-u_{max},\ u_{max}]$ 를 제외한 나머지 영역은 모두 0 의 값을 가집니다.

 

이러한 함수를 band-limited function 이라고 합니다.

 

 

fig 1

 

앞선 글에서도 다루었듯이,

 

Sampling Rate($\frac{1}{\Delta T}$)가 너무 낮을 경우 합쳐져서 중복되는 현상이 만들어 집니다(fig 1. 마지막 그래프).

반대로 높을 경우엔 $\tilde{F}(u)$에서 $F(u)$의 형태가 보전되는데요(fig 1. 두번째 세번째 그래프).

 

 

$\tilde{F}(u)$에서 $F(u)$의 형태가 보전되면 뭐가 좋을까요?

 

 

Sampled function의 푸리에 변환($\tilde{F}(u)$)에서 하나의 완전한 $F(u)$를 뽑아낼 수 있다면 역푸리에 변환(Inverse Fourier transform)을 통해 원본 함수($f(t)$)를 복원해 낼 수 있습니다. 

 

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예를들어서 전체적인 맥락을 간단하게 설명드릴게요! 

 

제가 좋아하는 아이유의 콘서트에서 노래를 녹음하여 친구에게 전송하려고 합니다. 노래는 아날로그 신호($f(t)$)죠. 핸드폰은 디지털로 이뤄져 있기 때문에 아주 짧은 시간을 주기($\frac{1}{\Delta T}$)로 아날로그 신호($f(t)$)를 기록합니다($\tilde f(t)$). 이걸 그대로 보내기엔 자료의 양이 너무 많아요. 그래서 푸리에 변환한 후 데이터를 보내줍니다. 이걸 받은 친구는 푸리에 변환에 대해서 공부를 한 친구라 바로 눈치를 챕니다. 데이터를 역푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)하고 아날로그 신호($f(t)$)를 복원합니다.

 

그런데 문제가 하나 발생합니다. 제가 녹음할때 아날로그 신호를 기록하는 주기(sampling rate)를 너무 낮게 한 것입니다. 그래서 친구는 아이유의 아름다운 목소리 대신 이상한 소리를 듣게 되는 것이지요. 뒤늦게 다음곡은 높은 주기(sampling rate)를 사용하여 아름다운 목소리를 기록하여 보내줬습니다. 이제야 친구는 아름다운 아이유의 목소리를 들을 수 있게 됩니다.

 

 

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자 이러한 Sampling rate 실수를 하지 않기 위해서 Sampling Theorem 을 잘 공부해 둡시다.

 

 

Sampling Theorem 이란

 

 

완전한 복원을 위한 최소한의 Sampling rate를 말합니다.

Sampling rate($\frac{1}{\Delta T}$)가 입력신호의 최고 주파수($u_{max}$)의 2배 이상이 되면 완전한 복원이 가능하게 됩니다.

 

$$ \large \frac{1}{\Delta T} > 2u_{max}$$

 

 

fig 2 Sampling rate

 

그렇다면 Sampling 을 통해 포착할 수 있는 최고 주파수 (maximum frequency)는 어떻게 될까요?

 

    → $\frac{1}{\Delta T} $를 sampling rate라고 할때, $u_{max} = \frac{1}{2 \Delta T} $ 입니다.  

 

 

이렇게 완전한 복원이 가능한 Sampling rate 를 Nyquist rate 라고 합니다. 

 

사실 입력신호의 최고 주파수($u_{max}$) 2배보다 조금 더 높은 Sampling rate를 사용해야 합니다.

 

왜 그럴까요?

 

이유는 간단합니다. 아래의 $sin (\pi t)$ 그래프를 보시죠.

정확히 최고 주파수의 2배 크기의 sampling rate로 sampling한 것이 붉은색 점입니다. 이 붉은색 점으로 원래 신호를 추정한다고 하면 그냥 일자로 쭉 선을 긋는것이 더 명확하지 않을까요?

 

이러한 이유로 최고 주파수의 2배보다 조금 더 빠른 sampling rate(blue)로 sampling 합니다.

 

 

 

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자 그럼 이제 $\tilde{F}(u)$에서 $F(u)$를 어떻게 뽑아 내는지 공부해 봅시다.

 

개념은 간단합니다. $\tilde{F}(u)$에서 원점을 기준으로 $[-u_{max},\ u_{max}]$ 만큼만 남기고 나머지는 모두 0으로 바꿔주면 됩니다. (참고로 $\tilde{F}(u)$ 구하는 과정에서 $\Delta T$로 나눠줬기 때문에 하나만 뽑아낼때는 $\Delta T$를 곱해줍니다.)

 

 

fig 3

 

$$ \begin{align} H(u) = \begin{cases} \Delta T & -u_{max} \leq u \leq u_{max} \\ 0 & \text{otherwise}  \end{cases} \end{align}$$

 

$$ F(u) = H(u)\tilde{F}(u) $$

 

 

이렇게 $F(u)$를 구하고 나면 역푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)을 통해 $f(t)$를 복원할 수 있게 됩니다!!

 

 

$$ f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u)e^{j2\pi u t}du$$

 

 

이때 사용되는 $H(u)$ 를 lowpass filter  라고 부릅니다.

낮은 주파수 영역대에서 필요한 범위($u\leq u_{max}$)만 통과시키고, 나머지(높은 주파수 영역대; $u>u_{max}$)는 걸러내기 때문이죠...

 

 

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다음 글에서는 Aliasing 에 대해서 다뤄 보겠습니다!

2021.08.09 - [AI/Math] - Signal Aliasing & Anti-aliasing 에 대하여

Signal Aliasing & Anti-aliasing 에 대하여

 

 

https://www.youtube.com/watch?v=iQaFDpiNOlA