[ Signal ] 푸리에 변환 (Fourier Transform) - (2) 다양한 함수의 푸리에 변환

---

 

[ Signal ] 푸리에 변환 (Fourier Transform) - (2) 다양한 함수의 푸리에 변환

 

---

푸리에 변환 (Fourier Transform) - (1) 기본 유도과정

Impulses function & Sifting properties

---

목차

 

Introduction

1. Fourier transform of functions

    1-1. Rectangular function

    1-2. Impulse function (Delta function)

    1-3. Periodic impulse train

 

 

 

 

 

---

Introduction

 

 

 

    지난 글들에서 푸리에 변환 (Fourier Transform)과 Impulses function 에 대해서 알아보았다. 이 글은 다양한 함수에 푸리에 변환을 적용해 보는 글이다.

 

 

 

 

---

1 - (1) Fourier transform of rectangular function

 

 

 

    너비가 $ W $, 높이가 $A$인 직사각형 모양의 함수 $f(t)$ 가 있다고 생각해 보자 (fig 1). 이 직사각형 함수에 푸리에 변환을 적용하면 어떻게 될까?

 

 

 

fig 1. rectangular function

 

 

 

$ \large \mathcal{F}(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j2\pi ut} dt \quad \ldots \quad (1)$

 

    수식 (1) : 푸리에 변환 ($f(t) = rectangular function$)

 

 

 

$ \large \mathcal{F}(u) = \int_{-W/2}^{W/2} Ae^{-j2\pi ut} dt =\frac{-A}{j2\pi u}[e^{-j2\pi ut}]_{-W/2}^{W/2} = \frac{A}{j2\pi u}[e^{j\pi uW}-e^{j\pi uW}] \quad \ldots \quad (2)$

 

    수식 (2) : $f(t)$함수는 $t \leq |W/2| $ 에서만 값 $A$을 가지고 나머지 $t$에서는 0의 값을 가지기 때문에, 곱셈을 고려하면 간단하게 정리된다.

 

 

    $ \large sin\ \theta = \frac{ e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2j} \quad \ldots \quad (2-1)$

       

       수식 (2-1) : sine function 를 오일러 공식을 이용하여 표현한 식

 

 

    $ \large sinc(m) = \frac{sin(\pi m)}{\pi m}=\frac{ e^{j\pi m }-e^{-j\pi m }}{2j\pi m} \quad \ldots \quad (2-2) $

 

       수식 (2-2) : normalized sinc function. sine function 과 그 변수의 비율을 나타내는 함수다.

 

 

 

$ \large \mathcal{F}(u) = \frac{A}{j2\pi u}[e^{j\pi uW}-e^{j\pi uW}] = AW\frac{sin(\pi uW)}{\pi uW} =AWsinc(uW) \quad \ldots \quad (3)$

 

    수식 (3) : 수식 (2, 2-1, 2-2)을 정리하면 푸리에 변환의 복소수 부분(complex term)이 사인 함수(real sine function)로  간단히 정리됨을 알 수 있다. 그리고 보통 푸리에 변환의 결과를 시각적으로 보여주기 위해 결과에 절댓값(magnitude of the transform)을 취해 준다. 이를 Fourier spectrum(Frequency specturm)이라고 부르기도 한다.

 

 

 

fig 2 Fourier transform (of rectangular function) & Sinc function

    fig 2

(a) Rectangular function, (b) Sinc(mt) function

(c) Fourier transform of Rectangular function

(d) Magnitude of (c)

 

 

주목할 점!

 

1.  푸리에 변환 결과가 0(zero)인 위치는 직사각형(a)의 너비 W 와 *반비례 관계가 있다!
2.  fig 2 -(c),(d)에서 보이듯이 원점에서 멀어질 수록 진폭이 점점 작아진다!
3.  frequency $u$ 값에 대하여 함수가 $-\infty,\ \infty$ 으로 끝까지 뻗어나간다

 

*반비례 관계

 

원함수 직사각형 너비 W가 좁아진다면? → 푸리에 변환 = 0이 되는 주기가 넓어진다

원함수 직사각형 너비 W가 넓어진다면? → 푸리에 변환 = 0이 되는 주기가 좁아진다

 

 

 

 

 

---

1 - (2) Fourier transform of impulse function

 

 

 

Impulse function이 무엇인지 모른다면 먼저 공부하고 오는 것을 권장한다.

Impulses function & Sifting properties

 

 

 

 

$$\large \mathcal{F}(\delta (t) ) =\mathcal{F} (u)= \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t)e^{-j2\pi ut} dt = e^{-j2\pi u} \quad \ldots \quad (4) $$

$$\large \mathcal{F}(\delta (t-t_0) ) =\mathcal{F} (u)= \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t-t_0)e^{-j2\pi ut} dt = e^{-j2\pi ut_0} \quad \ldots \quad (5) $$

 

    수식 (4) : sifting 특성을 이용하였다. spatial domain의 원점에 위치한 impulse 를 푸리에 변환하면 frequency domain의 constant 값이 나오게 된다. frquency u가 정수라면 항상 1의 값이 나오게 된다.

 

    수식 (5) : impulse 위치가 $t_0$일때. 그런데 $e^{-j2\pi ut_0}$는 복소 평면(complex plane)에서 보면 원점을 중심으로 한 unit circle이 된다.

 

 

2021.07.15 - [AI/Math] - Complex Number (복소수)

Complex Number (복소수)

 

 

 

 

---

1 - (3) Periodic Impulse train

 

 

 

$$ \large S_{\Delta T}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} C_ne^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t} \quad \ldots \quad (6)$$

 

$$ C_n = \frac{1}{\Delta T} \int_{-\Delta T/2}^{\Delta T/2} S_{\Delta T}(t)e^{-j\frac{2\pi n}{\Delta T}t} dt = \frac{1}{\Delta T} e^0 =\frac{1}{\Delta T} \quad \ldots \quad (7) $$

 

$$ \large S_{\Delta T}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} C_ne^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t} = \frac{1}{\Delta T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t} \quad \ldots \quad (8)$$

 

 

 

    수식 (6) : Periodic ($\Delta T$) impulse function을 푸리에 급수(Fourier Series) 기본 형태로 나타낸 것이다.

 

    수식 (7) : fig 3을 보면 [ $-\Delta T/2,\ \Delta T/2$] 구간에 값은 $\Delta T = 0$일때 하나밖에 없다. 그래서 단순히 $\frac{1}{\Delta T}$으로 치환할 수 있다.

 

    수식 (8) : 따라서 수식 (6)을 정리하면 Periodic Impulse train의 푸리에 급수 형태가 만들어진다.

 

 

 

fig 3. T periodic impulse train (출처 위키피디아)

 

 

 

그렇다면 periodic impulse train 푸리에 변환은 어떻게 구할 수 있을까?

 

 

 

★ Summation은 선형(linear process)이기 때문에 다 더한 것을 푸리에 변환하는 것과 각 요소를 먼저 푸리에 변환하고 더하는 것은 같다. (Fourier transform of a sum = Sum of the transforms of the individual components of the sum)

 

$$ \large \mathcal{F} (e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T} t}) = \delta (u - \frac{n}{\Delta T} )\quad \ldots \quad (9)$$

 

수식 (9) : 양변에 역푸리에 변환을 하면 dirac delta 함수의 sifting property 에 의해서 식이 성립하는 것을 볼 수 있다.

 

 

$$ \large S(u) = \mathcal{F}\{  S_{\Delta T}(t) \} = \mathcal{F}\{   \frac{1}{\Delta T} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t} \} $$

$$ =  \frac{1}{\Delta T} \mathcal{F} \{    \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t} \} = \frac{1}{\Delta T} \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty } \delta (u - \frac{n}{\Delta T} )\quad \ldots \quad (10)$$

 

 

수식 (10) : $S(u)$ - periodic impulse train 푸리에 변환

 

---

2021.08.04 - [AI/Math] - 푸리에 변환과 합성곱의 관계(Convolution Theorem)

푸리에 변환과 합성곱의 관계(Convolution Theorem)