[ 확률과 통계 ] 집합 총 정리(set, element, subset, filtering, universal set, power set, set complement, disjoint set, set partition)

1. 집합(set)과 원소(element)

 

정의 

    -  A set is a collection of objects, which are called elements

    -  집합이란 원소들의 모음이다.

 

ex) 주사위의 가능한 결과 집합 -> 6 개 원소 : {1,2,3,4,5,6}

ex) 동전의 양면 집합 -> 2개 원소 : {앞,뒤}

 

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2. 집합의 크기

 

    -  | S | denotes the size of a set, the number of elements it contains.

    -  집합의 크기를 | S |로 표기하고, 집합의 크기란 원소의 개수이다.

 

ex) 주사위의 가능한 결과 집합 S -> | S | = 6  -> 6 개 원소 : {1,2,3,4,5,6}

ex) 한 덱의 모든 카드집합 S -> | S | = 52 -> 4 suit X each suit has 13 cards

 

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3. Set membership

 

x ∈ S 

    :  object x is contained in set S. x는 집합 S의 원소이다.

 

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4. Equality of Sets

 

S = T

    : 집합 S와 T는 같은 크기이며, 모든 집합 S의 원소는 T의 집합일때, S = T라고 말할 수 있다.

 

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5. Subsets (부분 집합)

 

T ⊆ S

    : 집합 T는 집합 S의 부분집합이다.

 

    -  집합 T의 모든 원소는 집합 S에 존재한다.

    -  {} : empty set(공집합) 이라 하며 ∅ 으로 표기하기도 한다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.

 

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6. Creating Subsets by filtering

 

집합의 원소가 너무 많거나 무한할 때 filtering을 이용해서 표기할 수 있다.

 

{ x | F(x) }

    : The set of objects such that F(x) is true. 집합에서 조건을 만족하는 원소만 남겨서 표기할 수 있다.

 

    -  F(x) is logical formula that takes object x and return a value in the set {True, False}

    

ex) 주사위의 가능한 결과 집합 S = {1,2,3,4,5,6}이다.

    이때, 짝수인 경우만으로 집합을 만들고 싶다면 { x | x ∈ S and x is even} = {2,4,6}

 

 

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7. The Universal Set

 

정의

    -  The universal set Ω is the set of all possible objects of interest in a given context.

    -  전체 집합 오메가는 모든 가능한 원소를 포함한 집합이다.

 

ex) 주사위 : Ω = {1,2,3,4,5,6}

ex) 동전던지기 : Ω = {Head,Tail}

 

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8. The power set

 

정의

    -  The power set of a set S is denoted P(S) or ℙ(S).

    -  It is the set of all subsets of S. S의 모든 부분집합의 집합이다.

    -  The size of power set = 2의 |S|승 이다.

 

ex) 동전던지기 S = {H,T},  P(S) = { {}, {H}, {T}, {H,T} },  The size of power set = 2의 2승 = 4

 

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9. Set complement(여집합)

 

A의 여집합이란, Universal Set Ω에서 집합 A의 원소들을 제거한 집합을 말한다.

 

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10. Set union(합집합)

집합 A와 B의 set union은 집합 A 또는 B의 원소를 가진다.

 

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11. Set intersection(교집합)

집합 A와 B의 Set intersection은 두 집합모두 동일하게 가진 원소만을 가진다.

 

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12. Disjoint Set(서로소 집합)

    -  Sets S1, S2, ... , Sn are mutually disjoint if for every i, j with i ≠ j 

    -  Disjoint Set 이란 서로 겹치는 원소를 가진 집합이 없을 때 말할 수 있다.

 

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13. Partitions of a set

    -  Sets are disjoint (mutually disjoint) and union of sets = S

    -  집합들은 서로 겹치는 원소를 가지지 않으며, 집합들의 합집합은 전체집합일때, set partition 이라고 한다.

 

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14. 집합은 교환 법칙(Commutativity), 결합법칙 (Associativity), 분배법칙 (Distributivity)를 만족한다.

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예제 1.

Let A, B and C be the events. Find expression.

 

(a) At leat one of the events A, B, and C occurs.  =  (A ∪ B ∪ C)

    : A나 B나 C가 한번이라도 일어날 경우는

    - 각 사건만 일어날 경우 (only A, only B, only C) (빨간색)

    - 두 사건이 동시에 같이 일어날 경우 (A and B, A and C, B and C (파란색)

    - 세 사건이 동시에 일어날 경우 (A and B and C) (연두색)

 

(b) At most one of the events A, B, and C occurs.  =  ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C))^c

    :  최대로 events A, B, and C이 한번 만 일어날 경우. (skyblue∪red) = (pink complement) 

    -  세사건이 모두 일어나지 않을 때 (하늘색)

    -  각 사건만 일어날 때 (only A, only B, only C) (빨간색)

 

(c) Exactly one of the events A, B, and C occurs.  =  ((A∩(B∪C)^c)∪(B∩(A∪C)^c)∪(C∩(B∪A)^c))

    -  각 사건만 일어날 때 (only A, only B, only C) (빨간색)

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예제 2.  

Let A, B and C be the events. Find expression.

(a) A and B occurs, but not C 

    =  A ∩ B ∩ C^c

 

(b) Either event A occurs or, if not, then B also does not occur.

    =  A ∪ (A^c ∩ B^c)

 

(c) At least two of the three events occur.

    = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

 

    - 두 사건이 동시에 같이 일어날 경우 (A and B, A and C, B and C) (pink)

    - 세 사건이 동시에 일어날 경우 (A and B and C) (purple)

(d) Exactly two of the three events occur.

    = (A ∩ B ∩ C^c) ∪ (A ∩ C ∩ B^c) ∪ (B ∩ C ∩ A^c) (pink)

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참고.

http://matrix.skku.ac.kr/sglee/linear/ocu/thm.html
https://slideplayer.com/slide/9581767/
https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint_sets
https://en.wikipedia.org/wiki/Complement_(set_theory)
https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%A9%EC%A7%91%ED%95%A9