[ 확률과 통계 ] Multiplication rule 과 예제.

앞선 글에서 조건부 확률에 대해 다뤘다.

2020/04/15 - [확률과 통계] - 이산 균등 확률 & 조건부 확률은 무엇인가? (Discrete Uniform Probability & Conditional probability)

이산 균등 확률 & 조건부 확률은 무엇인가? (Discrete Uniform Probability & Conditional probability)

위의 글과 이어지는 내용으로 Multiplication rule 에 대해서 알아 보겠다.

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Multiplication rule

 

 

조건부 확률식을 응용하여 표현하는 방식이다.

 

두 사건이 동시에 일어날 확률을 구하기 위해 사용된다.

 

즉, 𝑃(𝐴1∩𝐴2∩...∩𝐴𝑁) 을 구하기 위함이다.

 

 

•   만약 P(B) > 0 이면, P(A ∩ B) = P(B) X P(A | B)

 

확장 시켜서 일반화 시키면 아래와 같은 식이 나타난다.

 

 

N 개의 교집합의 확률을 나타내는 식이다.

구체적인 수식을 몰라도 조건부 확률 식만 알면 곱해서 구할 수 있다.

 

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이메일 예시를 통해 알아보자!

 

•  받은 이메일 5개중에 1개는 spam이다.

•  내 컴퓨터는 받은 spam 메일 6개중에 5개를 제대로 스팸함에 넣는다.

•  내 컴퓨터는 받은 정상 메일 3개중에 1개를 스팸함에 넣는다.

 

 

먼저 위의 예시를 정의 해보자.

 

event S = "이메일이 스펨일 경우"

event J = "컴퓨터가 메일을 스펨함에 넣는 경우"

 

위의 내용을 통해 아래의 확률을 알 수 있다.

 

P(S)  =  "받은 메일이 스펨일 확률"  =  1/5

P(S^c)  =  "받은 메일이 정상 메일일 확률"  =  4/5

P(J | S)  =  "받은 메일이 스펨인 경우에 스팸함에 제대로 넣는 확률"  =  5/6

P(J | S^c)  =  "받은 메일이 정상 이메일 일때 스팸함에 잘못 넣는 확률"  =  1/3

P(J^c | S)  =  "받은 메일이 스펨인 경우에 정상 메일함에 넣는 확률"  =  1/6

P(J^c | S^c)  =  "받은 메일이 정상 이메일 일때 정상 메일함에 제대로 넣는 확률"  =  2/3

 

 

문제 1 ) 다음 메일이 스팸이고, 제대로 스팸함에 들어갈 확률?

 

P(S ∩ J) 를 구하는 것이다. 이때 multiplication rule 을 이용한다.

 

P(S ∩ J)  =  P(S) X P(J | S)  =  (1/5) X (5/6) = 1/6

 

 

문제 2 ) 다음 메일이 정상 메일이고 스팸함에 들어갈 확률은?

 

P(S^c ∩ J)  =  P(S^c) X P(J | S^c)  =  (4/5) X (1/3) = 4/15

 

 

문제 3 ) 어떤메일이 들어와서 스펨함에 들어갔을때, 그 메일이 스펨일 확률은?

 

P(S | J)  =  P(S ∩ J) / P(J)  =  1/6 / P(J)

 

위의 식을 통해서 P(S ∩ J) = 1/6인것을 알지만 P(J)는 어떻게 구할 수 있을까?

 

P(J) 

=  P(J ∩ Ω) 

=  P(J ∩ (S U S^c)) 

=  P((J ∩ S) U (J ∩ S^c)) 

=  P(J ∩ S) + P(J ∩ S^c) 

=  1/6 + 4/15 

=  13/30

 

따라서 P(S | J)  =  P(S ∩ J) / P(J)  =  (1/6) / (13/30) = 5/13 인것을 알 수 있다.

 

위와 비슷한 내용을 정리한 것이 total probability theorem과 bayes theorem이다.

2020/04/15 - [확률과 통계] - [ 확률과 통계 ] Total probability & Bayes' Theorem(베이즈 정리)

[ 확률과 통계 ] Total probability & Bayes' Theorem(베이즈 정리)