[ 확률과 통계 ] Total probability & Bayes' Theorem(베이즈 정리)

이번에 다룰 Total probability 와 Bayes' Theorem을 이해하기 위해서는 기본적인 확률의 규칙들에 대해서 잘 알고 있어야 한다. 앞의 글들을 보고 오길 바란다.

2020/04/15 - [확률과 통계] - [ 확률과 통계 ] Multiplication rule 과 예제.

[ 확률과 통계 ] Multiplication rule 과 예제.

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Total Probability Theorem

 

여러 다른 사건들의 확률을 가지고, 다른 하나의 사건 확률을 구하는 방법이다.

이 방법에는 조건이 있다.

 

•  조건  :  A_1, ... , A_n 은 sample space Ω 의 partition이다.
•  위의 조건을 만족할 때, 아래의 식을 만족한다.

잘 이해가 안될텐데, 그림을 그려서 이해해 보자.

 

 

전체 집합 Ω 의 partition이라는 것은 A_1,...,A_7 를 모두 합치면 Ω가 된다는 것이다.

또한 각 A_1,...,A_7 는 disjoint이다.

 

Total probability theorem에 따르면, 위의 그림에서 A_1,...,A_7을 이용하여 P(B)를 구하는 것이 목적이다.

 

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Bayes' Theorem

 

두 확률변수의 사전 확률과 사후 확률 사이의 관계를 나타내는 정리다. 베이즈 정리는 사전확률로부터 사후확률을 구할 수 있다.

 

totatl probability theorem과 동일하게 조건이 있다.

 

•  조건  :  A_1, ... , A_n 은 sample space Ω 의 partition이다.
•  위의 조건을 만족할 때, 아래의 식을 만족한다.

 

분자에 P(B)를 계산 하기 위해 total probability theorem이 쓰인다.

 

간단하게 설명하자면, 베이즈 정리를 이용하면 P(B | A)를 이용하여 P(A | B) 을 구할 수 있다.

 

아마 식만 보고는 어떻게 사용되는지 이해하기 힘들 것이다.

예제를 통해 알아보자.

 

베이즈 정리에 대해서 더욱 자세한 설명은 아래의 글에 가면 존재한다.

2021.03.17 - [확률과 통계/Probability] - 베이즈 정리(Bayesian Rules)

베이즈 정리(Bayesian Rules)

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예제. 약물실험.

 

•  1/5 의 확률로 사람이 바이러스에 걸린다.
•  바이러스를 치료하는 약물이 개발 되었다.
•  바이러스에 감염된 사람에게 약물이 좋은 영향을 줄 확률은 5/6이다.
•  바이러스에 감염되지 않은 사람에게 약물이 나쁜 영향을 줄 확률은 3/4이다.

 

먼저 위의 내용을 정리해보자.

 

Event V  =  "바이러스에 걸리는 사건"

Event C  =  "약물이 좋은 영향을 주는 경우"

 

P(V)  =  "바이러스에 걸릴 확률"  =  1/5

P(C | V)  =  "바이러스에 감염된 사람에게 약물이 좋은 영향을 줄 확률"  =  5/6

P(C^c | V)  =  "바이러스에 감염된 사람에게 약물이 나쁜 영향을 줄 확률"  =  1/6  by (1 - P(C | V))

P(C^c | V^c)  =  "바이러스에 감염되지 않은 사람에게 약물이 나쁜 영향을 줄 확률"  =  3/4

P(C | V^c)  =  "바이러스에 감염되지 않은 사람에게 약물이 좋은 영향을 줄 확률"  =  1/4 by (1 - P(C^c | V^c)))

 

아래 그림과 같이 두가지 경우만 있다고 전제한다.

 

 

문제 1) 약물이 좋은 영향을 줄 확률은 얼마나 되는가?

 

P(C)를 구하라는 것이다.

 

Total probability theorem을 이용한다.

 

V(바이러스에 감염된 사람), V^c(바이러스에 감염되지 않은 사람)은 sample sapce Ω의 partition 이다.

 

P(C)

 =  P(C | V) X P(V) + P(C | V^c) X P(V^c)

 =  (5/6) X (1/5) + (1/4) X (4/5)

 =  11/30

 

 

문제 2) 약물을 복용한 결과 좋은 영향을 받았을 경우에, 그 사람이 바이러스에 감염된 사람일 확률은?

 

P(V | C)를 구하라는 것이다.

 

Bayes's theorem을 이용한다.

 

P(V | C) 

=  P(V ∩ C) / P(C) 

=  ( P(C | V) X P(V) ) / P(C)

=  ((5/6) X (1/5)) / (11/30)

=  5/11

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