[ Signal ]푸리에 변환과 합성곱의 관계(Convolution Theorem)

 

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[ Signal ]푸리에 변환과 합성곱의 관계(Convolution Theorem)

 

 

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Convolution(합성곱)의 원리와 목적

 

푸리에 변환 (Fourier Transform) - (1) 기본 유도과정

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푸리에 변환과 합성곱

 

 

앞선 글에서 합성곱(Convolution)과 푸리에 변환(Fourier Transform)에 대해서 다뤄봤습니다.

다시 한번 정리해보죠.

 

 

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau : 합성곱$$

$$\mathcal{F} \{ f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi u t}dt : 푸리에\ 변환$$

 

 

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만약 함수 $f,\ g$의 합성곱을 푸리에 변환 하면 어떻게 될까요?

 

 

    놀랍게도 복잡한 합성곱 연산이 두 함수를 각각 푸리에 변환한 것의 간단한 곱셈으로 표현됩니다..

 

 

   공간 영역(spatial domain) 합성곱(convolution) = 주파수영역(frequency domain) 곱셈(product)

 

 

아직 무슨말인지 잘 모르겠지요? 

식을 풀면서 알아봅시다.

 

 

    

$$ \mathcal{F} \{ (f*g) (t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau \right]  e^{-j2\pi u t}dt$$

 

푸리에 변환 식에 합성곱식을 넣으면 위와 같은 식이 만들어 집니다. 

 

 

연속함수 $g$를 보면 $t$ 변수가 있고 이는 푸리에 변환에서 동일한 $t$로 사용됩니다.

그럼 이제 $t$를 가진 항들끼리 먼저 적분을 해봅시다.

자리를 바꾸어주면 아래와 같이 되겠지요.

 

$$ \mathcal{F} \{ (f*g) (t)\} = \int_{-\infty}^{\infty}  f(\tau)\left[ \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau) e^{-j2\pi u t}dt \right]  d\tau$$

 

 

이때 t에 대한 적분 식([ ]괄호 안)을 보면 $g(t-\tau )$의 푸리에 변환임을 알 수 있죠.

 

$$  \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau) e^{-j2\pi u t}dt =  \mathcal{F} \{ g(t-\tau )\} $$ 

$$   \mathcal{F} \{ g(t-\tau )\} =   \mathcal{F} \{ g(t)\} e^{-j2\pi u \tau} $$

 

 

다시 원래 식으로 돌아와 결과를 집어 넣고 위치를 정리하면 우변에 $f(\tau)$에 대한 푸리에 변환식이 남습니다.

 

$$ \mathcal{F} \{ (f*g) (t)\} =  \mathcal{F} \{ g(t)\} \int_{-\infty}^{\infty}  f(\tau)e^{-j2\pi u \tau}  d\tau$$

 

 

다 정리하면 단순한 곱셈이 됨을 알 수 있습니다.

 

$$ \mathcal{F} \{ (f*g) (t)\} =  \mathcal{F} \{ g(t)\}  \mathcal{F} \{ f(t)\}  = G(u)F(u) $$

 

 

다시말해 공간 영역(또는 시간 영역)의 합성곱 연산($f*g$)과 주파수 영역에서의 곱셈 연산($G \cdot F$)을 'Fourier transform pair' 라고도 합니다.

 

 

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그래서 결론적으로 푸리에 변환과 합성곱의 관계를 정리를 Convolution Theorem (참고)라고 합니다.

 

각각을 모두 convolution 하는 것보다 FFT(Fast Fourier Transform)을 이용해서 곱셈하는게 훨씬 빠릅니다.

그래서 time domain에서 convolution을 할때 Convolution theorem을 활용하여 frequency domain에서 곱셈을 하게 됩니다. 

 

 

 

출처 https://www.researchgate.net/publication/246698221_Linear_systems_analysis_of_functional_MRI_in_human_V1

 

 

 

 

 

아래 동영상은 실제로 time domain에 convolution theorem을 적용해보는 것을 보여줍니다

 

동영상추천

 

 

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