[ Signal ] 푸리에 변환 (Fourier Transform) - (1) 기본 유도과정

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[ Signal ] 푸리에 변환 (Fourier Transform) - (1) 기본 유도과정

 

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이전글 또한 오늘 다룰 내용과 연관되어 있다

Impulses function & Sifting properties

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목차

 

 

1. 푸리에 급수 (Fourier Series FS) (+ 푸리에 변환 유도과정)

2. 푸리에 변환 (Fourier Transform; FT) & 역 푸리에 변환 (Inverse Fourier Transform; IFT)

 

 

 

 

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1. 푸리에 급수 (Fourier Series)

 

 

 

    일반적으로 시간 주기(period; $\large \bf{T}$) 마다 반복하는 함수를 주기함수라고 한다. 우리는 푸리에 급수를 통해 코사인(cosine)과 사인(sine)함수로 이루어진 주기 함수를 표현할 수 있다.

 

 

 

 

    하지만 세상에는 주기가 없는 또는 주기를 찾기 힘든 비주기 함수도 존재한다.

비주기 함수도 푸리에 급수를 이용하여 주파수 영역에서 분석할 수 있을까?

 

 

 

 

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만약 주기함수의 시간 주기(T)가 무한히 크다면 ??   

$T\rightarrow \infty$

 

 

 

 

    아마 당신이 살아있는동안 그 주기함수의 반복되는 그래프는 볼 수 없을 것이다.

즉, 시간 주기(T)가 무한대로 크면 반복을 보기 어렵기 때문에 비주기함수랑 비슷하다고 여겨진다!

 

 

 

 

    이 아이디어(매우 큰 T의 주기함수 $\rightarrow $ 비주기함수)를 반대로 생각해 보면" 비주기함수 = 시간주기 T가 무한히 큰 주기함수 " 라고 가정해도 되지 않을까??!

 

 

 

 

그러면 우리는  푸리에 급수식을 비주기 함수에도 이용할 수 있게 된다. 이것이 푸리에 변환이 된다.

 

 

 

푸리에 급수 (Fourier Series)

 

 

 

 

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푸리에 변환(FT)은 푸리에 급수(FS)에서 부터 시작한다.

 

 

 

위에서 다룬 아이디어를 적용해보자!

 

 

 

 

$$\large f(t)\ =\ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}e^{j\frac{2\pi n}{T} t}\quad \ldots \quad (1)$$

$$C_{n}\ =\ \frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T} t}\ dt\quad for\ n\ =\ \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots$$

$$\large \lim\limits_{T\rightarrow \infty} f(t)\ =\ \lim\limits_{T\rightarrow \infty} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T}\int_{T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T} t}dt\ e^{j\frac{2\pi n}{T} t}\quad \ldots \quad (2)$$

 

 

 

 

    수식 (1) : 기본적인 푸리에 급수(Fourier Series)이다. 주기함수($f(t)$)를 대상으로 한다.

 

    수식 (2) : 수식 (1)에 $C_n$을 대입하고 양변에 $\lim\limits_{T\rightarrow \infty}$ 극한을 취해준다. 이것이 아이디어 부분이다. T를 무한대로 보내버리자! 푸리에 급수식에서 T 가 들어간 부분을 무한대로 보내면 다음과 같이 변화한다.

 

 

 

$$ \lim\limits_{T\rightarrow \infty} T/2=\infty,  \lim\limits_{T\rightarrow \infty} -T/2 =-\infty\ \lim\limits_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}= du $$

$ \frac{1}{T} = u(frequency) $ 이기 때문에 매우 작은 값이라는 의미로 $du$라고 표기하자!

 

 

 

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T 무한대를 생각해서 식을 정리하면 수식 (3)과 같다.

적분과정에서 무한대로 T가 확장하기 때문에 $\frac{n}{T}=u(freqeuncy)$ 로 치환해도 된다.

 

 

 

 

$$\large \lim\limits_{T\rightarrow \infty} f(t)\ =\ \int_{-\infty}^{\infty} \normalsize \underline{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi ut}dt}\ \large e^{j2\pi ut}du\quad \ldots \quad (3)$$

$$\large f(t)\ =\ \int_{-\infty}^{\infty} \normalsize \underline{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi ut}dt}\ \large e^{j2\pi ut}du\quad \ldots \quad (4) $$

 

 

 

    수식 (4) : 아이디어를 통해 비주기 함수에 푸리에 급수를 적용할 수 있다. 수식 (3)의 좌변과 수식 (4)의 좌변은 결국 같은 함수를 말한다. 밑줄친 부분은 푸리에 급수에서 보았던것 처럼 계수(coefficient)의 역할을 한다. 결국 푸리에 급수의 형태와 거의 유사하다. 푸리에 급수를 잘 이해했다면 쉽게 받아들여 질 것이다.

 

 

 

 

 

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2. 푸리에 변환 (Fourier Transform) & 역 푸리에 변환 (Inverse Fourier Transform; IFT)

 

 

 

fig 1. 출처 위키피디아

 

 

    푸리에 변환(Fourier Transform; FT)은 임의의 입력 함수(주기, 비주기 상관없음)를 받아서 다양한 주파수를 갖는 주기함수(sin, cos)들의 합으로 분해하여 표현하는 것을 말한다. 어떠한 입력이든 주기함수들의 합으로 항상 분해할 수 있다는 것이 장점이다.

 

 

 

    위에서 대부분 time domain t 에서 frequency domain으로의 변화라고 설명했었는데, 컴퓨터 비전(computer vision)쪽에서는 spatial domain에서 frequency domain으로의 변환이라고도 한다.

 

 

 

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푸리에 변환은 수식 (4)의 밑줄 친 부분을 말한다. 그대로 가져와 수식 (6)로 정리해 두었다.

 

 

 

$$\large f(t)\ =\ \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F} (u) e^{j2\pi ut}du\quad \ldots \quad (5) $$

$$\large \mathcal{F} \{f(t)\} = \int_\infty^\infty f(t)e^{-j2\pi u t}dt \quad \ldots \quad (6)$$

$$ \mathcal{F} \{f(t)\}=F(u)\ :\ 푸리에\ 변환\ 표기법$$

$$ f(t)\ :\ 변환\ 하고자하는\ 연속\ 함수$$

$$ u\ :\ 주파수(frequency)= \frac{1}{시간주기(T)} $$

 

 

    수식 (5) : 역 푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)

입력함수 $\large f(t)$가 $e^{j2\pi ut}$ 들의 합으로 표현된다는 의미이다.

 

    수식 (6) : 푸리에 변환(Fourier Transform)

입력함수 $\large f(t)$를 주기함수 성분으로 분해했을 때의 계수(coefficient)를 의미한다. 이는 각 주기 함수의 강도(amplitude)를 나타낸다.

 

 

 

fig 1. 출처 위키피디아

 

 

 

fig 1. 에서 붉은색 선이 입력 함수이다. 그리고 뒤쪽으로 푸른색 선들이 주파수가 $ u $인 주기함수 $e^{j2\pi ut}$ 이다. 이는 오일러 공식으로 쉽게 이해된다. 오른쪽에 푸른색 막대기가 각 주기 함수의 강도(amplitude)를 나타낸다.

 

 

 

 

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정리

 

 

 

앞의 글에서 다룬 푸리에 급수는 주기가 있는 함수에서만 적용이 가능했지만, 이를 확장하여 푸리에 변환을 만들어 냈다. 푸리에 변환은 모든 함수 또는 신호들을 입력으로 받아와 frequency domain에서 cos과 sin의 합으로 이루어진 정현파로 분해(표현)할 수 있다는 장점이 있다.

 

 

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2021.07.23 - [AI/Math] - 푸리에 변환 (Fourier Transform) - (2) 다양한 함수의 푸리에 변환

푸리에 변환 (Fourier Transform) - (2) 다양한 함수의 푸리에 변환

 

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참고자료

 

 

 

Fourier Transform(푸리에 변환)의 이해와 활용