[ Signal ] Impulses function & Sifting properties

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[ Signal ] Impulses function  &  Sifting properties

 

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푸리에 급수 (Fourier Series)

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목차

1. Introduction

2. Unit Impulse function (Dirac Delta function; $\delta(t)$)

3. Sifting Property

4. Impulse train ($s_{\Delta T} (t)$)

5. Discrete unit impulse function ($\delta(x)$)

참고자료

 

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1. Introduction

 

 

    Impulse function & Sifting properties 는 푸리에 변환과 선형 시스템에서 중요한 역할을 한다.

Impulse function의 더 정확한 표현은 distribution 또는 generalized function 이지만, 책이나 강의에서는 impulse function, Dirac delta function 등의 이름으로 사용된다.

 

 

 

 

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2. Unit Impulse Function (Dirac Delta function; $\delta(t)$)

 

 

 

    수학자 시메옹 드니 푸아송과 오귀스탱 루이 코시가 푸리에 적분 정리를 연구하면서 처음 고안하였다. 이후 물리학자 폴 디랙이 물리학에서 자주 사용하여 유명해 졌다고 한다. $\large \bf{\delta(t)} $ 로 표기한다

 

 

fig 1 Dirac delta functions (출처 위키피디아)

 

 

 

$$\delta(t) = \begin{cases} \infty & \text{if } t=0 \\ 0 & \text{if } t\neq 0 \end{cases} \quad \ldots \quad (1)$$

$$t : \text{continuous variable} $$

$$ \large \int_{-\infty}^{\infty}\delta (t) dt=1 \quad \ldots \quad (2)$$

 

 

 

수식(1) : Unit impulse Function

 

 

 

    $ t=0 $ 일때 무한대를 가지며 이를 제외한 나머지 모든 $t$ 에 대해선 0의 값을 가진다. 무한대는 숫자가 아니라 수가 커져가는 상태이기 때문에 명확하게 함수를 정의하기 위해 필요한 제한사항이 있다!

 

 

 

수식 (2) : Unit Impulse Funtion 의 영역은 항상 1 이어야 한다!

 

 

 

    이를 근사하는 표현은 매우 다양하다. 그중에 아래 fig 2는 정규 분포를 이용한 근사 표현이다.  t = 0 일때 삐죽 spike 가 올라가는 모양이고 영역(area)는 1로 유지된다.

 

 

 

 

fig 2  정규 분포의 극한을 이용한 디랙 델타 함수의 근사 표현 (출처 위키피디아)

 

 

다양한 근사법에 대한 시뮬레이션

Integrals over Dirac Delta Function Representations - Wolfram Demonstrations Project

 

 

 

Dirac Delta Function(DDF)의 성질

 

$\large \delta(x) = \delta(-x) $ : 우함수(even function) 이다.

 

출처 나무위키

 

 

$\delta (ax) = \frac{1}{|a|}\delta (x)$ : 꽤 중요한 성질이니 잘 기억해두자.

 

출처 나무위키

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3. Sifting Property

 

 

    우선, " Sift " 라는 단어의 뜻을 아는가?

 

 

네이버에 따르면 다음과 같이 "걸러내다", "선별하다" 등의 의미를 가지고 있다

 

 

출처 네이버 어학사전

 

 

 

여기서도 비슷한 의미라고 생각하면 된다. Impulse Function은 임의의 다른 함수의 특정값만을 걸러내는 역할(Sifting property)을 한다고 볼 수 있다. 

 

 

 

$$ \large \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta (t) dt=f(0) \quad \ldots \quad (3)$$

 

 

 

    수식 (3) : Unit Impulse Function $\delta (t)$ 함수를 임의의 함수 $f(t)$와 곱한 후 적분하게 되면, $t = 0$일때 함수값을 찾아낼 수 있다!

 

출처 나무위키

 

    왜냐하면 이론상 $\delta (t)$ 함수는 $\bf{t = 0} $에서만 값을 가지고 나머지 위치에서는 모두 곱셈 결과 0 이되기 때문이다(실제로는 근사하여 범위를 적분). 또한 $\delta (t)$ 함수의 영역을 1로 제한해뒀기 때문에 곱셈하는 $f(t)$ 함수의 $t = 0$의 값은 동일한 크기로 유지가 된다!

 

 

    그런데 단순히 생각해보면 뭣하러 힘들게 적분하여 값을 구할까? 단순히 $f(t)$ 함수에 0을 대입하면 되는거 아닌가? 라고 생각해볼 수 있다.

 

    사실 Dirac Delta Function은 미분방정식을 푸는 용도로 많이 사용된다

출처 나무위키

 

 

 

$$ \large \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta (t-t_0) dt=f(t_0) \quad \ldots \quad (4)$$

 

 

 

    수식 (4) : Impulse Function 의 위치가 $t = 0$이 아닌 다른 곳($\bf{ t = t_0}$)일 수 있다. 이 경우 그 위치의$ f(t_0)$ 함수값을 반환한다.

 

 

 

 

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4. Impulse train ($s_{\Delta T} (t)$)

 

 

    Impulse train 이란 말그대로 Impulse spike가 기차처럼 일정 간격($\Delta T$)을 두고 연속적으로 나타나는 것을 말한다. 머리 빗처럼 동일한 간격으로 솟아 있어서 "Dirac comb" 또는 일정한 간격으로 임의의 함수 값을 sampling 하는 역할도 가능하기 때문에 "Sampling function"이라고도 불린다.

 

$\large \bf{s_{\Delta T}(t)}$ 로 표기한다.

 

$$\large s_{\Delta T}(t)= \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\delta (t-k\Delta T) \quad \ldots \quad (5)$$

 

fig 3 . Impulse train (출처 위키피디아)

 

   

Impulse train

Dirac comb - Wikipedia

 

 

 

 

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5. Discrete unit impulse function ($\delta(x)$)

 

 

fig 4 . Discrete unit impulse function

$$\delta(t) = \begin{cases} 1 & \text{if } x=0 \\ 0 & \text{if } x\neq 0 \end{cases} \quad \ldots \quad (6)$$

$$x : \text{discrete variable} $$

$$ \large \sum_{-\infty}^{\infty}\delta (x) dt=1 \quad \ldots \quad (7)$$

$$ \large \sum_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta (x) dt=f(0) \quad \ldots \quad (8)$$

$$ \large \sum_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta (x-x_0) dt=f(x_0) \quad \ldots \quad (9)$$

 

 

    수식 (6) : Discrete variable에서는 앞에서 봤던 continuouse variable의 delat function 과 다른점이 한가지 존재한다.

앞에서는 연속 변수 $t = 0$ 일때 $\infty$ 값을 가지도록 이론적으로 설계했지만, 이산 변수 $x = 0$ 일때는 단순하게 1로 정의한다(이를 제외한 나버지 부분은 대부분 동일하다).

 

    수식 (7) : 그래서 당연하게 합은 1이 된다.

 

    수식 (8) : Discrete variable(이산 변수) 에서는 훨씬 이해가 간단하게 된다. 이산 변수를 사용하기 때문에 $x = 0$ 일때만 값을 가지게 되며 즉, delta function(t=0) 값인 1을 $f(0)$에 곱해준 것만 남게된다. 결국 impulse signal 위치에서의 함숫값을 알 수 있다.

 

    수식 (9) : 마찬가지로 impulse signal의 위치를 바꿀 수 있으며, 그 위치에서의 함수 $f(x_0)$ 값을 찾을 수 있다.

 

 

Signal train에 있어서도 discrete delta function의 값이 1인 것만 제외하곤 동일하다!

 

 

 

 

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참고자료

나무위키정리가 좋은듯

디랙 델타 함수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

디랙 델타 함수(Dirac Delta Function)

 

 

https://www.youtube.com/watch?v=KreHnRh5h78