[ Signal ] 푸리에 급수 (Fourier Series)

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[ Signal ] 푸리에 급수 (Fourier Series)

 

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Complex Number (복소수)

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목차

1. 급수 (Series)

2. 푸리에 급수 (Fourier Series)

    2-1 푸리에 급수 수식

    2-2 벡터의 직교성

    2-3 함수의 직교성 (복소 함수)

    2-4 푸리에 계수

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1. 급수 (Series)

 

 

푸리에 급수에 대해 살펴보기에 앞서 급수에 대해서 알아야 한다

 

급수란 수열의 모든 항을 더한 것, 즉 수열의 합이다

 

 

fig 1. 무한 급수

fig 2. 부분합

 

 

 

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2. 푸리에 급수 (Fourier Series)

 

 

푸리에는 한가지 아이디어를 떠올리게 된다.

 

 

아무리 복잡한 함수라도 그것이 주기를 가진다면 단순한 파동들의 조합을 합하여 표현할 수 있다

 

 

출처 Digital image processing 4th edition

 

 

위의 그림이 푸리에 급수를 아주 잘 보여준다!

 

첫번째부터 네번째 까지 단순한 주기함수의 합을 통해 마지막 복잡한 주기함수를 표현할 수 있다

 

 

 

 

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간단히 예시를 들어서 설명하자면 칵테일을 만드는 것과 같다

 

    ※ 필요한 재료들이 모두 존재해야한다 (단순한 주기함수의 역할)

    ※ 각 재료들을 얼마나 넣을지 결정해야 한다 (계수의 역할)

 

 

완벽한 조합의 칵테일을 위해서는 둘중 하나라도 빠질 수 없다!!!!

 

 

푸리에는 이 재료를 sin과 cosine 함수로 생각한 것이다

무한하게 다양한 주파수(frequency)를 가진 정현파를 각각 얼마나 가중해서 더해주느냐에 따라 모든 복잡한 주기함수를 표현할 수 있다고 주장했다

 

 

 

 

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2-1. 푸리에 급수 수식

 

 

$\large f(t)\ =\ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}e^{j\frac{2\pi n}{T} t}$

 

$C_{n}\ =\ \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T} t}\ dt\quad for\ n\ =\ \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots$

 

•  f(t) : 근사 또는 표현하고 싶은 복잡한 주기 함수
•  t : continuous variable
•  T : 함수 f의 시간 주기
•  Cn : 계수
•  $e^{j\frac{2\pi n}{T} t}$ : 복잡한 함수를 구성하는 간단한 주기함수
•  n : 다른 주파수를 가진 sin, cos 을 나타내기 위한 정수배
•  j : $ \sqrt{-1} $

 

 

 

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푸리에 급수 (Foureir Series)는 어떤 수열을 합한 것인가?

 

 

푸리에 급수는 각기 다른 주파수(frequency)를 가진 정현파 함수/신호(Sinusoidal Function/Signal)의 합이다

 

 

 

$\large f(t)\ =\ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}e^{j\frac{2\pi n}{T} t}$ 푸리에 급수 식에서

 

 

    $ w\ =\ \frac{2\pi}{T} $ 각 주기함수의 주파수를 w 라고 가정하면

    $e^{j\frac{2\pi n}{T} t}\ =\ e^{jnwt} $

    $e^{jnwt}\ =\ cos(nwt)\ +\ jsin(nwt) \quad 오일러 법칙 $

 

 

 

위의 오일러 법칙을 활용하여 다음과 같은 급수식으로 변환가능하다

 

 

 

$\large f(t)\ =\ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}(cos(nwt)\ +\ jsin(nwt))$

 

 

 

나열해 보면 푸리에 급수가 적절한 계수(Coefficient;Cn)를 곱한 다양한 주파수(nw)의 사인(Sine)과 코사인(Cosine) 함수의 합인 것을 알 수 있다

 

오일러 공식과, fig 3을 잘 이해한다면 쉽게 이해할 수 있을 것이다!

 

 

 

fig 3. 삼각함수

위상(θ=ωt), 각주파수(ω=2π/T), 시간주기(T)

 

 

 

 

Complex Number (복소수)

삼각 함수 [정보통신기술용어해설]

선형대수학 - 복소수 Complex number 기초 정리

 

 

 

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푸리에 급수(Foureir Series)의 장점

 

 

다른 주파수의 다양한 정현파의 합을 통해 어떠한 주기함수든 표현할 수 있다 !

 

 

 

fig 4. 푸리에 급수 (출처 : wolfram)

 

 

 

fig 4 그래프를 보면, 푸리에 함수를 통해 주기를 가진 함수 그래프들을 근사하고 있으며,

어느 함수든 주기성을 가지면 푸리에 급수로 나타낼 수 있다

 

 

 

 

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2-2. 근데 모든 주기함수를 근사할 수 있다는 것을 어떻게 알아???

 

정답 : 푸리에 급수는 단순한 주기 함수의 직교성(Orthogonality)을 이용한다

 

 

 

함수의 직교성을 생각해보면 직관적이지 않기 때문에

먼저 단순한 벡터의 직교성을 생각해 보자

 

 

 

fig 5. 벡터의 직교성

 

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $$

 

 

일반적으로 두 벡터를 내적하여 0일때, 두 벡터 a,b는 직교성을 가진다

이때 $ \vec{a}, \vec{b} $ 를 이용하여 평면(2차원) 위의 모든 점을 표현할 수 있다

 

 

하지만 3차원 세계의 점은 표현할 수 없다

3차원을 표현하기 위해서는 또 다른 직교 벡터 c 를 추가해야 한다

 

 

 

fig 6. 3차원 표현

 

 

 

이처럼 모든 점을 표현하기 위해서는 직교하는 축(dimension)의 개수를 무한히 늘리면 되지 않을까 라는 점에서 부터 시작한다!

 

 

 

 

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2-3. 다시 돌아와서 함수의 직교성 (Orthogonality)

 

 

푸리에 급수는 단순한 주기함수(축)에 특정한 계수(Cn)을 곱한것을 모두 합하여 복잡한 주기합수를 나타낸다

 

 

★ 결국 이는 위에서 본 벡터(축)의 개념과 유사하게 적용할 수 있다.

 

 

 

정수배(n)으로 정의되는 다양한 주파수를 가진 단순한 주기함수(축) 간의 직교성 (orthogonality)를 증명하면 그들을 조합하여 모든 주기함수를 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있다!!!

 

 

이것이 핵심이다!!    수식을 통해 알아보자!!

 

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복소 함수의 내적

 

 

함수의 직교성 또한 벡터의 직교성과 유사하다

함수의 내적의 결과가 0일 경우 직교성을 가지고 있다

 

 

다른점은 내적할때 함수는 연속적이기 때문에 함수 곱을 적분을 해주어야 한다는 것이다 (벡터에서는 곱의 합을 사용함)

또한 함수에서는 서로 직교할 수 있는 함수가 무한개가 존재하며, 직교하는 함수 집합을 Orthogonal Set이라고 한다

 

 

 

$구간\ [a, b]에서\ \large \ {f_n{(t)}}\ =\ Orthogonal\ Set\ 이라면, $

$\large 임의의\ 함수\ f(t)\ =\ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}f_{n}(t)\ 로\ 표현할\ 수\ 있다$

 

 

 

이를 푸리에 급수에 적용해보자

 

 

 

$ \large 푸리에 급수식\quad f(t)= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}e^{j\frac{2\pi n}{T} t}$

 

 

구간 [0, T]에서 서로 다른 정수배 n = p, q 에 대하여 $e^{j\frac{2\pi n}{T} t}$ 가 서로 직교하는가를 증명해야 한다!!!

 

 

 

$ \large \int_0^T exp(j\frac{2\pi p}{T}t)exp(-j\frac{2\pi q}{T}t)\ dt $

 

→ 복소함수를 내적하려면 켤레 복소 함수를 이용해야 함으로 j 앞에 마이너스(음수)를 붙여야 한다

→ p와 q는 정수이며, 각 주기함수는 다른 주기성을 가진다

 

 

 

$ \large \int_0^T exp(j\frac{2\pi (p-q)}{T}t)\ dt $

$ \large \ =\ \frac{T}{j2\pi (p-q) }[ exp(j\frac{2\pi (p-q)}{T}t)]_0^T\  $

$ \large \ =\ \frac{T}{j2\pi (p-q) }[ exp(j2\pi (p-q)t)-1] $

 

→ 이때 $exp(j2\pi (p-q)t)$ 함수의 주기성을 항상 $2\pi$이기 때문에 결과 값은 항상 1이 나오게 된다(복소평면에서 오일러 공식을 적용하여 이해하면 쉬움)

→ 그결과 $exp(j2\pi (p-q)t) -1 =0$이 되어 모든 t에 대해 0이 된다

→ 즉, 푸리에가 제안한 서로 다른 주기성의 정현파로 이루어진 복소 함수들은 서로 직교함을 알 수 있다

 

 

$ \large {exp(-j\frac{2\pi n}{T}t), n = 정수} = Orthogonal set 임을 증명하였다 $

 

 

 

 

 

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2-4. 푸리에 계수 (Fourier Coefficient)

 

 

$$\large f(t)\ =\ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}e^{j\frac{2\pi n}{T} t}$$

 

 

마지막으로 푸리에 계수 (Fourier Coefficient, $C_n$)에 대해서 알아보자

 

※ 앞에서 말한 예시처럼 계수는 주어진 재료들을 각각 얼마나 사용할 것인가를 결정한다

 

푸리에 계수를 찾기 위해서는 앞서 증명한 직교성을 활용한다

즉, 내적의 개념을 이용하는 것이다

 

 

 

$\large f(t)\ =\ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}e^{j\frac{2\pi n}{T} t} $

 

→ 내적할때 처럼 $f(t)$에 $exp(-j\frac{2\pi q}{T}t)$을 곱한 뒤에 f(t)의 시간 주기인 [ 0, T ] 범위에서 적분한다

 

 

$\large \int_0^T f(t)exp(-j\frac{2\pi q}{T}t)\ dt\ $

$\large\ =\ \int_0^T (\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}e^{j\frac{2\pi (n-q)}{T} t})\ dt $

$\large\ =\ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}( C_{n} \int_0^T e^{j\frac{2\pi (n-q)}{T} t})\ dt $

 

→ 적분과 시그마의 자리를 바꿔줄 수 있다

→ 적분은 t에 대해서 하기때문에 $C_n$은 이와 관련없음으로 앞으로 빼낼 수 있다

→ 그렇게 되면 적분 부분은 앞의 내적 증명 수식과 동일하게 된다

    즉, n = p (q 와 다른 수) 이면 전체 적분이 0이되어 수식 또한 0의 값을 가진다

    만약, n = q 이면 적분부분이 $ \int_0^T 1\ dt = T$ 가 된다

 

 

 

정리하자면 n = q 일때만 값이 살아남는다

임의의 q이기 때문에 그냥 n으로 적어도 큰상관이 없다!

 

 

$\large \int_0^T f(t)exp(-j\frac{2\pi q}{T}t)\ dt\ = C_n T$

$\large \frac{1}{T}\int_0^T f(t)exp(-j\frac{2\pi q}{T}t)\ dt\ = C_n$

 

$\large \therefore C_n = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) exp(-j\frac{2\pi q}{T} t)\ dt$

 

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정리

 

우리는 푸리에 급수에 대해서 배웠다

주의할 점은 푸리에 급수는 주기성을 가진 주기 함수의 근사만 가능하다는 것이다!

허나 이는 후에 푸리에 변환과 현대 통신기술에 큰 업적을 남겼다

 

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