[ Math ] Complex Number (복소수)

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[ Math ] Complex Number (복소수)

 

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Four-quadrant Inverse Tangent (Arctangent) Function

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목차

1. 복소수

    1-1 직교형식

    1-2 극형식

    1-3 지수형식

2. 켤레복소수

3. 복소평면

 

 

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1. 복 소 수 ( Complex numbers )

 

 

$$ \large \mathcal{C}\ =\ \mathcal{R}\ +\ j\mathcal{I}\ ,where \quad j\ =\sqrt{-1} $$

 

 

복소수는 실수부 $\large \mathcal{R} $ (real part)와 허수부 $\large \mathcal{I}$ (imaginary part) 로 구성된다

 

복소수는 다양한 형태로 표현이 된다

 

표현 방법으로는 직교형식과 극형식 그리고 지수 형식 등이 존재한다

 

 

 

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1-1. 직 교 형 식 (cartesin form)

 

 

$$ \large \mathcal{C}\ =\ \mathcal{R}\ +\ j\mathcal{I}\ ,where \quad j\ =\sqrt{-1} $$

 

 

위에서 보여준 방식이 직교 형식으로 표현한 복소수이다

직교 형식은 복소수의 덧셈과 뺄셈에서 편리하다

 

 

 

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1-2. 극 형 식 (polar form)

 

$$ \large \mathcal{C}\ =\ |C| (cos\theta +\ j\sin\theta),\quad r \geq 0, \theta \in\ \mathbb{R} $$

$$|C|\ =\ \sqrt{\mathcal{R}^2\  +\ \mathcal{I}^2}$$

$$\theta\ =\ atan2(\frac{\mathcal{I}}{\mathcal{R}}) $$

 

복소수의 직교 형식에서 극형식으로 형태를 바꿀 수 있다

 

$|C|$ -> 복소수의 절댓값 (복소 평면의 원점에서 복소수까지 뻗은 벡터 거리)

$\theta$ -> 편각

 

 

fig 1. 복소 평면

 

 

$\theta$ 는 복소평면에서 복소수의 삼각함수 탄젠트(tangent)와 역탄젠트(arctangent)를 생각하면 된다

 

$$tan(\theta)\ =\frac{\mathcal{I}}{\mathcal{R}} $$

 

이를 복소평면에서 삼각함수로 생각해보면 아래와 같다

$$tan(\theta)\ =\frac{높이(=\mathcal{I})}{밑변(=\mathcal{R})} $$

 

복소평면은 뒤쪽에 3번 섹션에서 보충설명한다

그리고 위에서 사용한 atan2가 궁금하다면 아래의 글로...

 

Four-quadrant Inverse Tangent (Arctangent) Function

 

 

 

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1-3. 지수 형식 (exponential form)

 

 

오일러 공식

 

$$ \large e^{j\theta}\ =\ cos\theta +\ j\sin\theta $$

 

 

극형식을 오일러 공식으로 우변을 치환하면 지수 형식이 된다

 

$$ \large \mathcal{C}\ =\ |C| e^{j\theta},\quad r \geq 0, \theta \in\ \mathbb{R} $$

 

 

오일러 공식 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

 

 

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2. 켤레 복 소 수 (Complex Conjugate)

 

$$ \large \mathcal{C}^*\ =\ \mathcal{R}\ -\ j\mathcal{I}\ ,where \quad j\ =\sqrt{-1} $$

 

 

Conjugate of a complex number C 라고도 불린다

허수부의 부호를 바꿔주면 된다

 

 

 

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3. 복 소 평 면 ( Complex Plane )

 

fig 1. 복소 평면

복소수는 직교 좌표계나 극좌표계를 갖춘 2차원 유클리드 평면의 점(또는 벡터)과 일대일 대응한다

 

간단히 설명하자면,

복소평면은 가로축이 실수부 이고, 세로축이 허수부인 좌표계이다

복소수를 좌표계 위에 점의로 표현할 수 있게한다

 

$$ \large \mathcal{C}\ =\ \mathcal{R}\ +\ j\mathcal{I}\ ,where \quad j\ =\sqrt{-1} $$

 

위의 복소수 $ \large \mathcal{C}$는 직교 형식으로 표현 되어 있으며,

복소 평면에서 가로로 R만큼 세로로 I만큼 떨어진 점(연두색 점)이라고 이해할 수 있다

 

복소평면위의 점을 위에서 다룬 다양한 형태로 복소수를 표현할 수 있다

 

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추가적인 단순 연산들은 쉬우니 위키피디아를 이용하자!

 

복소수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

 

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