[ Math ] Complex Number (복소수)
목차
1. 복소수
1-1 직교형식
1-2 극형식
1-3 지수형식
2. 켤레복소수
3. 복소평면
1. 복 소 수 ( Complex numbers )
$$ \large \mathcal{C}\ =\ \mathcal{R}\ +\ j\mathcal{I}\ ,where \quad j\ =\sqrt{-1} $$
복소수는 실수부 $\large \mathcal{R} $ (real part)와 허수부 $\large \mathcal{I}$ (imaginary part) 로 구성된다
복소수는 다양한 형태로 표현이 된다
표현 방법으로는 직교형식과 극형식 그리고 지수 형식 등이 존재한다
1-1. 직 교 형 식 (cartesin form)
$$ \large \mathcal{C}\ =\ \mathcal{R}\ +\ j\mathcal{I}\ ,where \quad j\ =\sqrt{-1} $$
위에서 보여준 방식이 직교 형식으로 표현한 복소수이다
직교 형식은 복소수의 덧셈과 뺄셈에서 편리하다
1-2. 극 형 식 (polar form)
$$ \large \mathcal{C}\ =\ |C| (cos\theta +\ j\sin\theta),\quad r \geq 0, \theta \in\ \mathbb{R} $$
$$|C|\ =\ \sqrt{\mathcal{R}^2\ +\ \mathcal{I}^2}$$
$$\theta\ =\ atan2(\frac{\mathcal{I}}{\mathcal{R}}) $$
복소수의 직교 형식에서 극형식으로 형태를 바꿀 수 있다
$|C|$ -> 복소수의 절댓값 (복소 평면의 원점에서 복소수까지 뻗은 벡터 거리)
$\theta$ -> 편각
$\theta$ 는 복소평면에서 복소수의 삼각함수 탄젠트(tangent)와 역탄젠트(arctangent)를 생각하면 된다
$$tan(\theta)\ =\frac{\mathcal{I}}{\mathcal{R}} $$
이를 복소평면에서 삼각함수로 생각해보면 아래와 같다
$$tan(\theta)\ =\frac{높이(=\mathcal{I})}{밑변(=\mathcal{R})} $$
복소평면은 뒤쪽에 3번 섹션에서 보충설명한다
그리고 위에서 사용한 atan2가 궁금하다면 아래의 글로...
1-3. 지수 형식 (exponential form)
오일러 공식
$$ \large e^{j\theta}\ =\ cos\theta +\ j\sin\theta $$
극형식을 오일러 공식으로 우변을 치환하면 지수 형식이 된다
$$ \large \mathcal{C}\ =\ |C| e^{j\theta},\quad r \geq 0, \theta \in\ \mathbb{R} $$
2. 켤레 복 소 수 (Complex Conjugate)
$$ \large \mathcal{C}^*\ =\ \mathcal{R}\ -\ j\mathcal{I}\ ,where \quad j\ =\sqrt{-1} $$
Conjugate of a complex number C 라고도 불린다
허수부의 부호를 바꿔주면 된다
3. 복 소 평 면 ( Complex Plane )
복소수는 직교 좌표계나 극좌표계를 갖춘 2차원 유클리드 평면의 점(또는 벡터)과 일대일 대응한다
간단히 설명하자면,
복소평면은 가로축이 실수부 이고, 세로축이 허수부인 좌표계이다
복소수를 좌표계 위에 점의로 표현할 수 있게한다
$$ \large \mathcal{C}\ =\ \mathcal{R}\ +\ j\mathcal{I}\ ,where \quad j\ =\sqrt{-1} $$
위의 복소수 $ \large \mathcal{C}$는 직교 형식으로 표현 되어 있으며,
복소 평면에서 가로로 R만큼 세로로 I만큼 떨어진 점(연두색 점)이라고 이해할 수 있다
복소평면위의 점을 위에서 다룬 다양한 형태로 복소수를 표현할 수 있다
추가적인 단순 연산들은 쉬우니 위키피디아를 이용하자!
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