함수의 연속성은 함수의 극한과 관련이 크다. 극한에 대해서 잘 모르겠다면 앞의 글을 보고 오시길..
2020/03/18 - [AI/Math] - [Math] 극한 (Limit) 이란? (정의와 특성)
[Math] 극한 (Limit) 이란? (정의와 특성)
정의 엡실론 - 델타 논법을 이용하면, 임의의 ε > 0 에 대하여, δ > 0 가 존재하여, 0 < |x - a| < δ 이면 항상, |f(x) - L| < ε 이게 된다. ( if for every number ε>0 the..
supermemi.tistory.com
함수 연속성의 정의
위의 식을 만족할 때, 함수 f(x) 는 어떤 실수 a 에서 연속이다.
이는 아래 세가지 조건의 충족을 의미한다.
1. f(a) 존재
2. lim x->a f(x) 존재
3. lim x->a f(x) = f(a)
어떤 실수 a 에서 함숫값이 존재하고, 함수의 극한값이 존재할때
함숫갑과 함수의 극한값이 같다면, 그 함수는 어떤 실수 a 에서 연속 이라고 말할 수 있다.
예제를 통해 알아보자.
예제 1.
lim x->2 f(x) = 3이다.
그러나 f(x)는 x=2 일때, 분모가 0이 되므로 f(2)는 존재하지 않는다. (1번조건 불충족)
따라서 f(x)는 x=2 에서 불연속이다.
예제 2.
f(x) = 1 / x^2 (if x ≠ 0)
1 (if x = 0)
lim x->0 f(x) = ∞
f(x)는 x=0 일때, 극한값이 존재하지 않는다.(2번조건 불충족)
따라서 f(x)는 x=0 에서 불연속이다.
예제 3.
: 어떤 실수 a에서 좌극한과 f(a)값이 같을 때 좌연속이라고 한다.
f(x) = (x^2 -x -2) / (x -2) (if x ≠ 2)
1 (if x = 2)
lim x->2 f(x) = 3이다.
그러나 f(x)는 x=2 일때, f(2) = 1이다. 극한값과 함수값이 다르다. (3번조건 불충족)
따라서 f(x)는x=2 에서 불연속이다.
예제 4.
f(x) = [x], 가우스함수.
가우스 함수의 속성은 n≤x<n+1일 때[x]=n(단, n은 정수) 이다.
모든 정수 n에 대하여 극한값은 존재하지 않는다.
이때 우연속과 좌연속의 개념에 대해서 생각해 볼 수 있다.
좌연속 : 어떤 실수 a에서 좌극한이 f(a)값과 같을 때 좌연속이라고 한다.
우연속: 어떤 실수 a에서 우극한이 f(a)값과 같을 때 좌연속이라고 한다.
위의 가우스 함수는 모든 정수 n에서 "우극한=f(n)" 이기 때문에
모든 정수 n에서 우연속이라고 할 수 있다.
출처
'수학 > Basic' 카테고리의 다른 글
| 미분 공식과 예제 (Chain rule, Power rule, sum/difference rule, Exponential functions, Product rule, Quotient Rule) (0) | 2020.04.12 |
|---|---|
| 함수의 극한, 연속성, 그리고 미분. 기본적인 내용 정리 블로그. (0) | 2020.03.23 |
| 좌극한과 우극한, 그리고 무한대 (엡실론-델타 이용) (0) | 2020.03.18 |
| 극한 (Limit) 이란? (정의와 특성) (0) | 2020.03.18 |
| 머신러닝 기초. 쉽게 설명하는 편미분, 체인룰 (2) | 2020.03.12 |
