극한 (Limit) 이란? (정의와 특성)

수학/Basic

SuperMemi 2020. 3. 18. 07:39

정의

엡실론 - 델타 논법을 이용하면,

임의의 ε > 0 에 대하여, δ > 0 가 존재하여, 0 < |x - a| < δ 이면 항상, |f(x) - L| < ε 이게 된다.

( if for every number there is some number such that

ε : 엡실론, 아주 작은 양의 실수라고 정의한다.

δ : 델타, 아주 작은 실수라고 정의한다.

0 < |x - a| : 이 조건은 f(a)일 경우를 제외시켜 줌. 극한은 f(a)의 값과 상관이 없기 때문이다.

|x - a| < δ, |f(x) - L| <ε : 좌극한과 우극한이 같음을 보여준다.

이렇게 생각을 해보자, x 가 얼마나 a에 가까워 져야, f(x)와 L의 차이가 아주 작게 될까?

f(x)와 L의 차이가 아주 작은 실수 ε(엡실론)이 될때,

그에 만족하는 아주 작은 실수 δ(델타)가 존재한다면, 그 식은 극한 값을 가진다고 할 수 있다.

예시.

임을 보여라.

일단 이라는 함수에 대해, 극한값 5와의 거리를 생각하면 이다.

이제 우리의 목적은, 이면 " 이 되는 를 찾는 것이다.

이때 로 놓으면 된다는 것을 쉽게 알 수 있다.

임의의 양의 실수 ϵ에 대하여 δ=ϵ/2이라두면, 일 때,

구체적인 엡실론-델타를 이용한 극한의 추론의 과정은 아래의 사이트에 자세히 설명되어 있다.

위의 방식이 수학적으로 정의되지만 처음 보는사람이 이해하기엔 어렵다.

우리가 이해하기 쉽게 설명하겠다.

극한이란, x가 한없이 a에 가까워 질 때, f(x)가 한없이 L에 가까워지면 극한이라고 할 수 있다.

극한을 이해하기 위해 극한의 속성이 중요하다.

극한에서는 lim_(x->a) f(x) 와 f(a)의 값이 같을 필요가 없다. 두 값이 같은 경우를 "함수 f가 a에서 연속"이라고 한다.

이러한 정의를 통해 위 식을 (x-2)로 약분하여 계산 할 수 있다.

무한대는 하나의 값이 아니라 점점 커지고 있는 상태를 말한다.

참고